viernes, 23 de marzo de 2012

Lectura 8 y 9: Notación Científica o Exponencial

En el estudio de la física encontramos, frecuentemente, magnitudes muy grandes o muy pequeñas que sería difícil o incomodo manejar si las escribimos en números decimales, básicamente, porque son magnitudes que distan mucho de los valores que nuestros sentidos están acostumbrados a percibir.

Por ejemplo, si nos dijeran que la masa de un electrón es 0.000000000000000000000000000000911 gr, o que la distancia entre el sol y la tierra es de 150000000000m, sería algo incómodo el enunciado oral o escrito de estas cifras. Para solucionar el problema, lo usual es presentar estos números como el producto de un dígito por una potencia de base 10. A este tipo de representación se le llama notación científica o exponencial. (Los dígitos son los números entre 1 y 9).

Consideremos, por ejemplo, el número 1000. Nuestros conocimientos de álgebra elemental nos permiten comprender que este número se puede expresar como 103, o que 560000 se puede expresar como 5.6×105.

Para presentar un número en notación exponencial, se procede como sigue:

  1. Si el número es mayor o igual que 1, o menor o igual que -1:
    • Se escribe un punto después del primer dígito, y las demás cifras diferentes de cero.
    • Se indica la multiplicación por una potencia de base diez, donde el exponente es igual al número de cifras que hay después del primer dígito.
      Ejemplo 1: Representar 100000 en potencias de 10.
      Se escribe 1×105 Porque hay 5 cifras después del primer dígito.

      Ejemplo 2: Representar 12300000 en potencias de diez.
      Se escribe 1.23×107 el exponente es 7 porque hay 7 cifras después del primer dígito
  2. Si el número es mayor que -1 y menor que 1:
    • Se escribe un punto después del primer dígito, y las demás cifras diferentes de cero.
    • Se indica la multiplicación por una potencia de base diez, donde el exponente es opuesto al número de cifras que hay desde la cifra que sigue al punto hasta el primer dígito.

      Ejemplo 3: Representar 0.001 en potencias de 10
      Se escribe 1×10-3 el exponente es -3 porque hay tres cifras desde el punto hasta el primer dígito y negativo porque el número empieza por cero.

      Ejemplo 4: Representar 0.00045 en potencias de diez
      Se escribe 4.5×10-4 el exponente es -4 porque hay 4 cifras desde el punto hasta el primer dígito y de signo negativo porque el número dado es mayor que -1 y menor que 1. Es decir que empieza por cero.

Tabla 1: leyes de la potenciación
OperaciónExplicaciónRepresentación algebraicaEjemplo
Multiplicaciónse deja la base y se suman los exponentesNa × Nb = Na+b105×107=1012
Divisiónse deja la base y se restan los exponentesNa / Nb = Na-b105÷107 =10-2
Potenciaciónse deja la base y se multiplican los exponentes(Na)b = Naxb(103)6 = 1018
Radicaciónse deja la base y se divide el exponente de la potencia entre el índice del radical
Potencias negativasSe escribe la expresión a manera de fracción, de manera que el numerador sea 1 y el denominador sea la potencia con el exponente positivoN-a = 1/Na 10-2 = 1/102
Suma y RestaSolo se pueden sumar y restar potencias si tienen la misma base y el mismo exponente.2×Na + 3×Na = 5×Na4×10-8 + 5×10-8 = 9×10-8

Para realizar operaciones con números en notación científica, los dígitos se operan normalmente y las potencias se operan según las leyes de la potenciación, resumidas en la tabla 1.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 5: 3.2×104 × 2.3×109 = 7.36×1013

Ejemplo 6: 4.8×106 ÷ 1.2×104 = 4×102

Ejemplo 7: (1.5×102)4 = 5.0625×108

Ejemplo 8: 5.12×107 + 2.8×107 = 7.92×107

Ejemplo 9:

Nota: En algunos casos, cuando al hacer la operación no se obtiene un dígito, es necesario ajustar la respuesta para que sea acorde con la definición. (Presentar las cantidades como el producto de un dígito por una potencia de base 10.)

Veamos ejemplos:

Ejemplo 10: 3.18×10-5 × 4.33×1015 = 13.769×1010 Observe que 13 no es un digito. Por tanto, debemos correr el punto un lugar a la izquierda, con lo que estaríamos dividiendo la cifra entre 10. Para no alterar la cantidad, multiplicamos entonces, la potencia por 10, aumentando 1 a su exponente. La respuesta seria: 1.3769×1011

Ejemplo 11: 4.58×1019 ÷ 5.36×1014 = 0.854×105 En este caso, cero no es un dígito. Por tanto, es necesario correr el punto un lugar a la derecha, con lo cual multiplicamos el número por 10. Debemos, entonces, dividir la potencia entre 10, restando 1 al exponente. La respuesta es: 8.54×104.

En el caso de la suma y de la resta, puede presentarse otro detalle:

Ejemplo 12: Suponga la siguiente operación: 3.1×103 + 2.5×104 Recuerde que para realizar la suma, las dos potencias deben tener el mismo exponente y este no es el caso. Entonces, se llevan las dos cantidades al exponente mayor. La cantidad 3.1×103, se transforma en 0.31×104. Como en los casos anteriores, al correr el punto a la izquierda, estamos dividiendo el número entre 10 y para no alterar la cantidad, se multiplica la potencia por 10, aumentando 1 al exponente. Luego se realiza la operación: 0.31×104 + 2.5×104 = 2.81×104. El mismo procedimiento de lleva a cabo cuando restamos.

Taller de lectura 8 y 9:

  1. ¿Qué es notación científica o exponencial?
  2. ¿A qué números llamamos dígitos?
  3. Represente el número 1000 como una potencia de base 10
  4. ¿Cómo se procede para representar un número en notación exponencial, si el número es mayor o igual que 1 o menor o igual que −1?
  5. Copie, con su explicación, los ejemplos 1 y 2
  6. Copie y complete la siguiente tabla:
    Número decimalDígitoPotenciaNumero en notación científica
    63500000006.351096.35×109
    900000...
    140000000000...
    912000000000000...
    3000000...
    856000000000000000...
  7. ¿Cómo se procede para representar un número en notación exponencial, si el número es mayor que −1 y menor que1?
  8. Copie, con su explicación, los ejemplos 3 y 4
  9. Copie y complete la siguiente tabla:
    Número decimalDígitoPotenciaNumero en notación científica
    0.00002362.3610-52.36×10-5
    0.000000658...
    0.000000032...
    0.0000000000022...
    0.00067...
    0.0000121...
  10. ¿Cómo se procede para realizar operaciones con números en notación científica?
  11. Copie la tabla 1 que resume las leyes de la potenciación
  12. Copie los ejemplos 5 a 9
  13. ¿Cómo se procede cuando al hacer la operación no se obtiene un dígito?
  14. Copie, con su explicación, los ejemplos 10 y 11
  15. Copie, con su explicación, el ejemplo 12
  16. Realice los siguientes ejercicios:
    a. 3.2×106 × 2.19×108b. 2.11×10-3 × 3.25×109
    c. 8.96×10-6 ÷ 3.24×1012d. 7.2×107 ÷ 4.1×103
    e. (3×1022f. (3.15×105)3
    g. h.
    i. 2.6×104 + 3.1×105j. 9.05×10-6 + 1.1×10-5
    k. 3.69×1021 − 2.65×1020l. 5.23×108 − 6.55×107
  17. La distancia entre el Sol y la Tierra es de 150 millones de kilómetros. Represente esta cantidad en notación exponencial.
  18. En química se conoce el mol, como una cantidad de materia que contiene 6.02×1023 átomos o moléculas. ¿Cuántos ceros tendría esta cifra si la escribiéramos como un número entero?
  19. En informática, un Terabyte consta de 1024000000 Bytes. Represente la cifra en notación exponencial.

1 comentario: